Materi, Soal dan Pembahasan - Menentukan Titik Stasioner dan Nilai Stasioner Fungsi Trigonometri

Salam Para Bintang

Kali ini kita akan membahas materi menentukan  Titik dan Nilai Stasioner Fungsi Trigonometri sebagai lanjutan dari materi sebelumnya yang terdapat pada artikel berikut:

Baca Juga:

• Menentukan Turunan Fungsi Trigonometri dengan menggunakan Aturan Rantai
• Materi Lengkap Turunan Fungsi Trigonometri : Pembuktian Rumus Turunan dengan Teorema Limit

A. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi trigonometri perlu dipahami defenisi berikut:

Defenisi:

Misalkan D merupakan daerah asal fungsi f yang memuat titik C, maka dapat dikatakan sebagai berikut:

1. f(c) bernilai maksimum pada daerah D jika  untuk semua x di D
2. f(c) bernilai minimum pada daerah D jika untuk semua x di D
3. f(c) bernilai ekstrim pada daerah D jika merupakan nilai f(c) maksimum /minimum
   
   

Untuk lebih paham silahkan di cek di sini: Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

B. Titik Stasioner dan Nilai Stasioner

Setiap fungsi khsususnya fungsi trigonometri yang memeiliki yang namanya titik balik  dan titik puncak yang sering disebut dengan titik balik maksimum dan titik balik minimum. Kumpulan titik balik dan titik belok adalah titik stasioner.

Misalkan y = f(x)  adalah fungsi yang terdiferensialkan , untuk menentukan titik stasioner maka terlebih dahulu menentukan nilai x  dengan menggunakan syarat stasioner yaitu:

f ' (x) = 0 adalah turunan pertama.

Dengan diperoleh x = c yang memenuhi f ' (c) = 0  maka f(c) adalah nilai stasionernya. Sedangkan (c,f(c)) adalah titik stasionernya. 

Jadi, nilai stasioner adalah y = f(c). Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan f'(x) = 0 bisa lebih dari satu dimana tergantung jenis fungsinya. Dalam menentukan jenis stasioner dapat diperoleh dengan dua cara yaitu turunan pertama dan yang kedua turunan kedua.

Catatan: 

Dalam mempelajari nilai stasioner perlu dipahami  konsep persamaan trigonometri

1. Uji Turunan Pertama (f '(x))

 Uji daerah sebelah kiri (x = a) dan daerah sebelah kanan (x = b) pada x = c, lalu perhatikan kriteria berikut:

• Jika f' (a) > 0  dan f ' (b) < 0, maka jenis stasionernya adalah maksimum
• Jika f ' (a) < 0 dan f '(b)  > 0, maka jenis stasionernya adalah minimum
• Jika f ' (a) < 0 dan f '(b)  < 0 atau  f ' (a) > 0 dan f '(b)  > 0, maka jenis stasionernya adalah titik belok

2. Uji Turunan Kedua (f''(x))

Subsitusi x = c ke turunan kedua fungsi f(x), lalu perhatikan kriteria berikut:

• Jika f''(c) < 0 , maka jenis stasioner adalah maksimum
• Jika f"(c) > 0, maka jenis stasioner adalah minimum
• jika f''(c) = 0, maka jenisnya adalah belok

Contoh 1:

Nilai x yang mengakibatkan fungsi f(x) = sin 2x stasioner  pada interval  adalah...

Penyelesaian:

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner yaitu :

I/.

I. 

II.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 45, 135, 225, 315 }

Baca Juga:

Rumus-Rumus Dasar  dan Kompleks Turunan Fungsi Trigonometri Secara Lengkap

Contoh 2:

Salah satu titik stasioner dari fungsi f(x) = cos 2x   pada interval  adalah...

Penyelesaian:

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner yaitu :

       

       

I. 

         

II.  

  

     

     

Jadi, untuk 

Salah satu titik stasioner dari fungsi f(x) = cos 2x   pada interval  adalah  

Contoh 3:

Nilai stasioner dari grafik fungsi f(x) =1 + sin x  pada interval   adalah...

Penyelesaian:

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner yaitu :

I. 

II.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah

Dengan mensubsitusi nilai x yang memenuhi ,maka diperoleh nilai stasionernya  yang diperoleh adalah :

Nilai stasioner dari grafik fungsi f(x) =1 + sin x  pada interval   adalah 2 (C)

Contoh 4:

Grafik fungsi f(x) =1 - cos x  stasioner pada interval  saat x =....

Penyelesaian:

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner yaitu :

I. 

II.

Grafik fungsi f(x) =1 - cos x  stasioner pada saat 

Contoh 5:

Nilai maksimum fungsi  adalah.......

Penyelesaian:

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner yaitu :

I.

• 

• 

II. 

Dengan mensubsitusi nilai x yang memenuhi ,maka diperoleh:

Nilai maksimum fungsi  adalah 5 (C)

Contoh 6:

Nilai maksimum fungsi  terjadi di titik yang berabsis  adalah.......

Penyelesaian:

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner yaitu :

      

      

      

Dengan mensubsitusi nilai x yang memenuhi ,maka diperoleh:

Nilai maksimum fungsi  terjadi di titik yang berabsis  adalah

Contoh 7:

Titik stasioner dari fungsi   adalah....

Penyelesaian:

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner yaitu :

 atau 

Dengan mensubsitusi nilai  , yang memenuhi ,maka diperoleh:

Titik stasioner dari fungsi   adalah 

Contoh 8:

Titik minimum fungsi  terjadi di titik yang berabsis  adalah......

Penyelesaian:

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner yaitu :

Dengan mensubsitusi nilai x yang memenuhi ,maka diperoleh:

        

   

  

Titik minimum fungsi  terjadi di titik yang berabsis  adalah

Contoh 9:

Nilai stasioner untuk   pada interval   adalah...

Penyelesaian:

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner dan menggunakan aturan pembagian turunan :

Dengan mengingat rumus suatu fungsi stasioner yaitu :

Nilai stasioner untuk   pada interval   adalah:

Demikianlah berbagai contoh soal yang bisa memandu kalian dalam belajar tentang Titik Stasioner dan Nilai Stasioner. Silahkan dipelajari dengan baik, semoga kalian bisa ke depan. Salam para Bintang

Ingin mengikuti bimbel  mulai dari kelas X, XI dan XII SMA untuk persiapan juara kelas dan lulus PTN boleh bergabung di bimbel star ed.