Materi Lengkap Turunan Fungsi Trigonometri : Pembuktian Rumus Turunan dengan Teorema Limit

Jibang P.Hutagaol,M.Pd September 26, 2022

Salam Para Bintang

Kali ini kita akan melanjutkan materi yang sering muncul di Ujian Masuk PTN atau lebih dikenal UTBK SBMPTN dan ujian PTN lainnya. Kali ini kita akan membahas materi Turunan Fungsi Trigonometri yang juga menjadi bagian dari pelajaran Matematika Minat kelas XII IPA.

Nah,sebelum kita bahas materi Turunan Fungsi Trigonometri,kalian wajib memahami materi Limit Fungsi Alajabar dan Turunan Fungsi Aljabar.

Sekarang kita coba mengupas tuntas materi dan contoh soalnya di sini:

Mengenal Turunan Fungsi Trigonometri dan Pembuktian Menggunakan Teorema Limit Fungsi

Dalam turunan fungsi trigonometri yang terdiri dari 6 fungsi dasar yaitu: sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x.

Dalam penyelesaian turunan 6 fungsi trigonometri tersebut,kita harus membuktikannya dengan menggunakan konsep limit fungsi yaitu dengan rumus:

Turunan pertama memiliki beberapa notasi yang perlu diketahui:

$f^{'}(x)=y^{'}=\frac{df(x)}{dx}=\frac{dy}{dx}=D_{x}f(x)$

$f^{'}(x)=y^{'} \, \, diperkenalkan \, \, oleh\, \, Joseph\, \, Louis\, \, Lagrange$

$\frac{df(x)}{dx}=\frac{dy}{dx} \rightarrow diperkenalkan\, \, oleh\, \, Gottfried \, \, Leibniz$ $D\, \, dan\, \, \frac{d}{dx}\, \, merupakan\, \, operator\, \, turunan$

1. Turunan fungsi trigonometri f(x) = sin x

Dengan menggunakan rumus :

dan sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B, maka:

$f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sin\, x}{h}$

$f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin\, xcos\, h+cos\, xsin\, h-sin\, x}{h}$

$f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin\, x\left ( cos\, h-1\right )+cos\, xsin\, h}{h}$ $f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin\, x\left ( cos\, h-1\right )}{h}+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ cos\, x \, sin\, h}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=0+cos\, x\, \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin\, h}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=cos\, x.(1)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=cos\, x$

Jadi turunan fungsi f(x) = sin x adalah cos x

2. Turunan fungsi trigonometri f(x) = cos x

Dengan menggunakan rumus :

dan cos (A + B) = cos A cos B - sinA sin B, maka:

$f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cos(x+h)-sin\, x}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{cos\, xcos\, h-sin\, xsin\, h-cos\, x}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{cos\, xcos\, h-cos\, x}{h}-\frac{sin\, xsin\, h}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{cos\, x(cos\, h-1)}{h}-\frac{sin\, xsin\, h}{h}$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{cos\, x(cos\, h-1)}{h}-\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin\, xsin\, h}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=0-\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin\, xsin\, h}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=-\displaystyle \lim_{h \to 0}{sin\, x}\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin\, h}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=-sin\, x\, (1)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=-sin\, x\,$

Jadi turunan fungsi f(x) = cos x adalah -sin x

3. Turunan fungsi trigonometri f(x) = tan x

Dengan menggunakan rumus :

dan :

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{tan(x+h)-tanx}{h}$

maka dengan menggunakan konsep

$tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$

atau

$tanA-tanB=tan(A-B)(1+tanA \, tanB)$

Misalkan : A = x +h dan B = x, maka:

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{tan(x+h)-tanx}{h}$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{tan(x+h-x)(1+tan(x+h)\, tanx)}{h}$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{tan(h)(1+tan(x+h)\, tanx)}{h}$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}(1+tan(x+h)\, tanx)\, .\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{tan(h)\,}{h}$

$f'(x)=(1+tan(x+0))(tanx\,)\, .\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{tan(h)\,}{h}$

$f'(x)=(1+tan(x+0)\, tanx ).\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{tan(h)\,}{h}$

$f'(x)=(1+tanx \, tanx ).\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{tan(h)\,}{h}$

$f'(x)=(1+tan^{2}x ).\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{tan(h)\,}{h}$

$f'(x)=(1+tan^{2}x ).(1)$

$f'(x)=1+tan^{2}x$

Karena : $1+tan^{2}x =sec^{2}x$ ,maka:

$f'(x)=sec^{2}x$

Jadi turunan fungsi f(x) = tan x adalah $f'(x)=sec^{2}x$

Baca Juga:

Kumpulan Soal-soal Matematika Kelas X,XI dan XII MM WAJIB dan MM MINAT Semester Ganjil & Genap Dari Buku BRILIAN

4. Turunan fungsi trigonometri f(x) = cotan x

Dengan menggunakan rumus :

dan :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\, \frac{cot(x+h)-cot\, x}{h}$

maka dengan menggunakan konsep limit:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\, \frac{cot(x+h)-cot\, x}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{tan(x+h)}-\frac{1}{tanx}}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{cos(x+h)}{sin(x+h)}-\frac{cosx}{sinx}}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{cos(x+h).sinx-cosx.sin(x+h)}{sin(x+h).sinx}}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{cos(x+h).sinx-cosxsin(x+h)}{sin(x+h)sinx}}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{cos(x+h).sinx-cosxsin(x+h)}{hsin(x+h)sinx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin(x-(x+h))}{hsin(x+h)sinx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin(-h)}{hsin(x+h)sinx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{-sinh}{h}.\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{1}{sin(x+h)sinx}$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{-sinh}{h}.\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{1}{sin(x+h)sinx}=(-1)\left ( \frac{1}{sin^{2}x} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=-cosec^{2}x$

Jadi turunan fungsi f(x) = cotan x adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{'}(x)=-cosec^{2}x$

5. Turunan fungsi trigonometri f(x) = sec x

Dengan menggunakan rumus :

dan :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sec(x+h)-secx}{h}$

maka dengan menggunakan konsep limit:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sec(x+h)-secx}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{cos(x+h)}-\frac{1}{cosx}}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{cosx-cos(x+h)}{cos(x+h).cosx}}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{cosx-cos(x+h)}{h.cos(x+h).cosx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-2sin\left ( \frac{x+x+h}{2} \right ).sin\left ( \frac{x-(x+h)}{2} \right )}{h.cos(x+h).cosx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-2sin\left ( \frac{2x+h}{2} \right ).sin\left ( \frac{-h)}{2} \right )}{h.cos(x+h).cosx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{2sin\left ( \frac{2x+h}{2} \right ).sin\left ( \frac{h}{2} \right )}{h.cos(x+h).cosx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=2.\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin\left ( \frac{h}{2} \right )}{h}.\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin\left ( x+\frac{h}{2} \right )}{cos(x+h).cosx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=2\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{sinx}{cosx.cosx} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\frac{sin}{cosx}.\frac{1}{cosx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=secx\, tanx$

Jadi turunan fungsi f(x) = sec x adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=secx\, tanx$

6. Turunan fungsi trigonometri f(x) = cosec x

Dengan menggunakan rumus :

dan :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{cosec(x+h)-cosecx}{h}$

maka dengan menggunakan konsep limit:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{sin(x+h)}-\frac{1}{sinx}}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{sinx-sin(x+h)}{sin(x+h).sinx}}{h}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sinx-sin(x+h)}{h.sin(x+h)sinx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{2cos\left ( \frac{x+x+h}{2} \right )sin\left ( \frac{x-(x+h)}{2} \right )}{h.sin(x+h)sinx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{2cos\left ( \frac{2x+h}{2} \right )sin\left ( \frac{-h}{2} \right )}{h.sin(x+h)sinx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-2cos\left ( x+\frac{h}{2} \right )sin\left ( \frac{h}{2} \right )}{h.sin(x+h)sinx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=-2\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin\left ( \frac{h}{2} \right )}{h}.\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{cos(x+h)}{sin(x+h).sinx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f'(x)=-2\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{sin\left ( \frac{h}{2} \right )}{h}.\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{cos(x+h)}{sin(x+h).sinx}=-2\left ( \frac{1}{2} \right ).\frac{cosx}{sinx.sinx}$