Materi Terlengkap, Contoh Soal + Contoh Persamaan Garis Singgung Lingkaran


Salam Para Bintang

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik dan titik tersebut. Ada 3 jenis cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran yaitu jika diketahui:

  1. Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran
  2. Garis singgung melalui suatu titik di luar lingkaran
  3. Garis singgung lingkaran jika diketahui gradien garisnya
Sebelum kita membahas topik ini perlu kalian pahami materi tentang persamaan lingkaran yaitu 

1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran harus dipahami bahwa titik yang dilalui garis terdapat pada lingkaran tersebut. Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran tergantung pusat lingkaran tersebut yaitu sebagai berikut:

a. Persamaan Garis singgung lingkaran pusat O(0,0) pada titik

     Perhatikan gambar berikut:


      Persamaan garis singgungnya adalah:

                                              

Contoh 1:

Pembahasan:
Pertama kita melakukan uji coba, apakah titik(2,-3) terletak pada lingkaran  , dengan melakukan subsitusi:

Karena titik (2,-3) terletak pada lingkaran  , maka diperoleh persamaan garis singgungnya adalah:




b. Persamaan Garis singgung lingkaran pusat A(p,q) pada titik 
      Perhatikan gambar berikut:


     Persamaan garis singgungnya adalah:

                             

Contoh 2:
Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (3,1) pada lingkaran   . dan titik singung A(-3,1) .

Pembahasan:


Karena titik (-3,1) terletak pada lingkaran  , maka diperoleh persamaan garis singgungnya adalah:

                       
                            
                                         

c. Persamaan Garis singgung lingkaran   pada titik 

    Persamaan garis singgungnya adalah:
     
                    

Contoh 3:
Persamaan garis singgung melalui titik (2, 1) pada lingkaran 

Pembahasan:
Pertama kita melakukan uji coba, apakah titik(2,1) terletak pada lingkaran   , dengan melakukan subsitusi:


Karena titik (2,1) terletak pada lingkaran  , maka diperoleh persamaan garis singgungnya adalah:




Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran dapat dilihat bahwa ada sebuah titik di luar lingkaran, kemudian ditarik ke 2 titik pada lingkaran sehingga diperoleh garis menyinggung lingkaran. Perhatikan gambar berikut!



Dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran terdapat 2 cara,yaitu:

1. Persamaan Garis Singgung  melalui titik   di luar lingkaran.

Cara menentukan persamaan garis singgung:
  • Misalkan garis singgungnya y = mx + n
  • Subsitusi titik  ke y = mx + n dan diperoleh nilai n 
  • Subsitusi nilai n ke garis y = mx + n
  • Subsitusi garis yang baru diperoleh tersebut (dimana n sudah diganti) ke persamaan Lingkaran dengan menentukan nilai Diskriminan (D) yaitu D = 0
  • Dengan diperoleh nilai m, maka subsitusi nilai m ke garis yang baru tersebut kembali.

Contoh 4:
Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran   yang dapat ditarik dari titik (7, –1).

Pembahasan:
Persamaan garis singgung yang melalui (7, –1) dengan gradien m adalah :

y + 1 = m(x – 7)
y = mx – 7m – 1 ... (1)

Substitusi (1) ke persamaan lingkaran  , diperoleh :


Kemudian dicari nilai Diskriminan, yaitu:
 

Dari bentuk persamaan kuadrat di atas, diperoleh : 

 

maka:
 

Ingat, syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0, maka:

 
 

Kemudian, subsitusi nilai   , ke persamaan garis y = mx – 7m – 1. Sehingga diperoleh:
a. Persamaan Garis Singgung  dengan gradien  , yaitu:

 
 

b. Persamaan Garis Singgung  dengan gradien   , yaitu: 



2. Menggunakan garis polar (Garis Kutub)
Perhatikan gambar berikut !
Jika melalui titik  di luar lingkaran ditarik 2 buah garis pada lingkaran dengan titik singgungnya  , maka diperoleh persamaan garis polar BC yaitu:
a. 
b. 

Cara membuat persamaan garis singgung lingkaran:
  • Membuat persamaan garis polar dari titik  terhadap lingkaran.
  • Subsitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran, dengan mencari nilai x
  • Subsitusi nilai x atau y ke persamaan garis polar, untuk menentukan titik B dan titik C
Persamaan garis polar yang ditarik dari titik A(2,2) terhadap lingkaran  adalah.....

Pembahasan:
Pertama, menentukan garis polar yaitu ditarik dari titik A(2,2) dengan pusat lingkaran (-3,1) dan jari-jari r = 4 dengan menggunakan rumus:

maka:
 
jadi, persamaan garis polarnya adalah  

Kemudian, subsitusi ke persamaan lingkaran  :
 

Dengan menggunakan rumus abc, maka dapat diperoleh nilai x yaitu:


a = 13 , b = -2 dan c = -3


 

Jika   maka diperoleh nilai  :

Jadi, titik singgungnya adalah  


Jika  maka diperoleh  :


    
Jadi, titik singgungnya adalah


3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m dapat dinyatakan dalam 3 bentuk yaitu berdasarkan persamaan lingkarannya :

  • Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m  terhadap lingkaran 

Persamaan garis singgungnya adalah:
                           

  • Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m  terhadap lingkaran 
Persamaan garis singgungnya adalah:
                                 

  • Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m  terhadap lingkaran

Persamaan garis singgungya adalah:
                                    

Untuk menentukan niai p, q beserta jari-jari lingkaran dengan persamaan di atas, silahkan baca materi ini: 

Baca Juga: 

Dalam materi persamaan garis singgung lingkaran dengan diketahi gradien sering sekali ditemukan hubungan antara 2 garis yaitu sejajar dan tegak lurus, maka:

  1. Dua buah garis sejajar maka gradiennya adalah sama :  
  2. Dua buah garis yang saling tegak lurus perkalian kedua gradiennya adalah -1 : 

Contoh 6:
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien 2 pada lingkaran  adalah.....

Pembahasan:
Diketahui dan diperoleh bahwa m = 2 dan sehingga persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien 2 dan adalah:

Contoh 7:
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien 2 pada lingkaran  adalah.....

Pembahasan:
Diketahui dan diperoleh bahwa m = 2 dan r = 1 sehingga persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien 2 dan r = 1 adalah:


 
 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah   dan 


Contoh 8:
Persamaan garis singgung lingkaran  yang sejajar dengan x - 2y - 5 = 0 adalah.....

Pembahasan:
Diketahui persamaan lingkaran  dan diperoleh:
Pusat lingkaran yaitu (6,-4) dan jari-jari adalah:

 
 
 

Dengan menentukan gradien garis singgungnya dimana sejajar dengan garis x-2y -5 = 0, sehingga diperoleh gradiennya adalah :
  

Sehingga diperoleh persamaan garis singgung dengan rumus:



Jadi, persamaan garis singgungnya adalah  


Contoh 9:
Persamaan garis singgung lingkaran  yang tegak lurus dengan 2y-x + 3 = 0 adalah.....

Pembahasan:
Diketahui persamaan lingkaran  dan diperoleh:
Pusat lingkaran yaitu (0,0) dan jari-jari adalah 5

Dengan menentukan gradien garis singgungnya dimana tegak lurus dengan garis 2y - x + 3 = 0, sehingga diperoleh gradiennya adalah :
  
karena :   maka:
 


Sehingga diperoleh persamaan garis singgung dengan rumus:

19 comments:

  1. Velicia Chinnara Purba
    Xi ia 4
    Hadir pak

    ReplyDelete
  2. Andreas P. M. Simanjuntak
    Hadir pak

    ReplyDelete
  3. shalsa Harisa Ashura hadir pak

    ReplyDelete
  4. Cindy Azzahra Al Shinta hadir pak

    ReplyDelete
  5. Syawal suramana putra hadir pak

    ReplyDelete
  6. Reyzauli Janviana Mansyur hadir pak

    ReplyDelete

INFORMASI PENDAFTARAN SISWA-SISWI BARU DI BIMBINGAN BELAJAR STAR ED TAHUN 2020/2021

Hai semua calon pemilik masa depan.... Salam Para Bintang Kali ini saya akan membagikan sedikit informasi tentang penting...

Theme images by mariusFM77. Powered by Blogger.
//