Materi Kelas 12 MM WAJIB | Pengertian Statistika, Contoh Soal dan Pembahasan Soal UTBK SBMPTN

Salam para bintang

Nah, sekarang kita masuk materi Statistika, materi ini dari mulai kita sekolah Dasar hingga tingkat SMA selalu dibahas dan sampai kuliah nanti. Jadi, wajib dipahami ya!

Karena materi ini juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Untuk kalian harus paham dengan pengertian dari Statistika.

Statistika adalah sebuah ilmu yang mempelajari bagaimana cara merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, lalu menginterpretasikan, dan akhirnya mempresentasikan data.Singkatnya, statistika adalah ilmu yang bersangkutan dengan suatu data. Istilah "Statistika" berbeda dengan "Statistik".

Dalam Statistika akan dibahas yaitu Ukuran Penyajian Data, Ukuran Pemusatan Data,Ukuran Penyebaran Data

A. UKURAN PENYAJIAN DATA

Penyajian data merupakan salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil penelitan yang telah dilakukan agar dapat dipahami dan dianalisis sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Data yang disajikan harus sederhana dan jelas agar muda dibaca. Penyajian data juga dimaksudkan agar para pengamat dapat dengan mudah memahami apa yang kita sajikan untuk selanjutnya dilakukan penilaian atau perbandingan, dan lain-lain.  

Tujuan Penyajian Data Tujuan penyajian data adalah: 

• Memberi gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi, 
• Data lebih cepat ditangkap dan dimengerti, 
• Memudahkan dalam membuat analisis data, dan 
• Membuat proses pengambilan keputusan dan kesimpulan lebih tepat, cepat, dan akurat. 

Cara penyajian data ada tiga macam, yaitu : 

• Narasi, yaitu penyajian data hasil penelitian dalam bentuk kalimat. 
• Tabel, yaitu kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori-kategori. Misalnya berat badan menurut jenis kelamin, jumlah pegawai menurut pendidikan, jumlah penjualan menurut jenis barang dan daerah penjualan, dll. 
• Grafik atau Diagram, yaitu gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data

Dalam penyajian data, data dibagi menjadi dua jenis yaitu data tunggal dan data berkelompok. 

1. Penyajian Data Tunggal

Data tunggal biasanya disajikan dalam bentuk tabel frekuensi, diagram batang, diagram garis, piktrogram dan diagram lingkaran. 

Misalnya, dalam suatu kelas yang terdiri 40 siswa, 15 siswa menyukai matematika,10 siswa menyukai kimia, 10 siswa menyukai biologi, dan 5 siswa menyukai Bahasa Inggris

Contoh penyajian data tersebut adalah sebagai berikut:

a. Tabel Frekuensi

Data diatas dapat dijaikan dalam tabel berfrekuensi sebagai berikut:

b. Diagram Lingkaran

c. Diagram Garis

d. Diagram Batang

2. Penyajian Data Berkelompok

Salah satu cara menyajikan data dapat dilakukan secara berkelompok. Data kelompok adalah data yang diringkas menjadi beberapa kelompok dengan rentang dan panjang kelas tetap. Misalkan menggabungkan nilai 61, 63, 65, 68 ke dalam satu kelas pada rentang kelas 61 – 68. Data kelompok biasanya diberikan dalam tabel data kelompok. Untuk membuat tabel data kelompok,perlu mendata jumlah nilai yang sama untuk mengetahui banyak data/frekuensi.

Beberapa cara penyajian data berkelompok yang sering ditemui disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, histogram, poligon,dan ogive.

1. Tabel Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi merupakan suatu keadaan yang menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau variabel yang dilambangkan dengan angka itu telah tersalur, terbagi, tersebar, dan terpancar. Penggambaran angka (bilangan) atau penyajian data angka tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel atau grafik/gambar, yang kemudian dikenal dengan istilah tabel distribusi frekuensi dan grafik distribusi frekuensi.

Sebuah distribusi frekuensi akan memiliki bagian-bagian yang akan dipakai dalam membuat sebuah daftar distribusi frekuensi. Bagian-bagian tersebut akan dijelaskan sebagai berikut:

• Kelas (class) adalah kelompok nilai data atau variable dari suatu data acak.
• Batas kelas (class limits) adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain. Batas kelas merupakan batas semu dari setiap kelas, karena di antara kelas yang satu dengan kelas yang lain masih terdapat lubang tempat angka-angka tertentu. Terdapat dua batas kelas untuk data-data yang telah diurutkan, yaitu: batas kelas bawah (lower class limits) dan batas kelas atas (upper class limits).
• Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas yang lain. Terdapat dua tepi kelas yang berbeda dalam pengertiannya dari data, yaitu: tepi bawah kelas dan tepi atas kelas. Tepi Bawah Kelas = Batas Bawah -0,5 dan Tepi Atas Kelas = Batas Atas + 0,5
• Titik tengah kelas atau tanda kelas adalah angka atau nilai data yang tepat terletak di tengah suatu kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang mewakili kelasnya dalam data. Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah) kelas.
• Interval kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain.
• Panjang interval kelas atau luas kelas adalah jarak antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas.
• Frekuensi kelas adalah banyaknya data yang termasuk ke dalam kelas tertentu dari data acak.

Untuk lebih memahaminya, coba kalian perhatikan contoh  berikut:

Perhatikan data nilai matematika 65 orang siswa kelas XII SMA berikut:

30, 25, 94, 42, 50, 45, 26, 80, 70, 70, 60, 45, 46, 50, 40, 78, 55, 43, 56, 58, 42, 52, 53, 68, 50, 40, 78, 36, 42, 35, 60, 85, 30, 68, 82, 27, 25, 75, 76, 74, 71, 72, 63, 63, 62, 65, 61, 50, 50, 51, 56, 58, 57, 64, 60, 65, 74, 70, 72, 90, 88, 88, 90, 75, 75

Sumber data: https://www.gurupendidikan.co.id/

Buatlah tabel distribusi frekuensi data di atas!

a. Pertama sekali adalah mengurutkan data dari yang terkecil sampai ke yang terbesar

25, 25, 26, 27, 30, 30, 35, 36, 40, 40, 42, 42, 42, 43, 45, 45, 46, 50, 50, 50, 50, 50, 51, 52, 53, 55, 56, 56, 57, 58, 58, 60, 60, 60, 61, 62, 63, 63, 64, 65, 65, 68, 68, 70, 70, 70, 71, 72, 72, 74, 74, 75, 75, 75, 76, 78, 78, 80, 82, 85, 88, 88, 90, 90, 94.

b. Kedua, menentukan Jangkauan (J) atau range dengan rumus:

Jangkauan = Data Terbesar - Data Terkecil = 94 -25 = 69

c. Ketiga, Menghitung Jumlah Kelas(k)

Untunk menghitung jumlah kelas, maka kita gunakan rumus Sturgess yaitu:

                             k = 1 + 3,3 log n

Keterangan: n = banyak data

Untuk menentukan logaritma n dengan melihat tabel logaritma

jadi, k = 1 + 3,3 log 65 = 1 + 3,3 (1,81291) = 1 + 5,98 = 6,98 = 7

d. Keempat, menghitung panjang kelas (P)

Untuk mengitung panjang kelas, maka kita gunakan rumus:

                          

sehingga diperoleh:

e. Kelima, Menghitung hitung batas panjang interval kelas (P)

25 + ( 10 -1 ) = 34

35 + ( 10 -1 ) = 44

45 + ( 10 -1 ) = 54

55 + ( 10 -1 ) = 64

65 + ( 10 -1 ) = 74

75 + ( 10 -1 ) = 84

85 + ( 10 -1 ) = 94

f. Keenam, membuat tabel distribusi frekuensi.

Tabel frekuensi dibuat dengan cara memindahkan hasil langkah ke-5 ke dalam kolom interval kelas dan isi kolom frekuensi dengan jumlah frekuensi setiap interval kelas diambil dari langkah ke-1.

         Tabel Distribusi Frekuensi:

2. Histogram

Histogram  merupakan suatu grafik segi empat yang dibentuk di atas absis dengan menggunakan batas bawah nyata dan batas atas nyata yang berhimpit – himpit.

Histogram berbeda dengan diagram batang dalam hal lebar, yaitu batang digunakannya batas kelas dan bukan limit kelasnya. Ini dimaksudkan untuk menghilangkan jeda atau ruang antar batang, sehingga dapat memberikan kesan padat.

Langkah – langkah membuat histogram :

1. Buatlah absis ( sumbu mendatar X menyatakan nilai ) dan ordinat ( sumbu tegak Y menyatakan frekuensi )
2. Buatlah skala absis dan ordinat
3. Buatlah batas kelas dengan cara setiap tepi bawah kelas dikurangi 0,5
4. Membuat tabel distribusi frekuensi untuk membuat grafik histogram

Berikut adalah tabelnya dan histogramnya:

3. Poligon

Poligon adalah grafik garis yang menghubungkan nilai tengah dari setiap interval kelas. Agar ujung kiri dan kanan tertutup maka perlu ditambah satu kelas pada kelas pertama dan satu kelas lagi sesudah  kelas terakhir dengan frekuensi masing-masing nol.

Langkah-langkah menentukan poligon adalah:

1. Menentukan titik tengah dari interval kelas yaitu dengan cara menjumlahkan Batas Bawah dan Batas Atas kemudian dibagi 2 untuk setiap kelas.
2. Membuat titik yaitu absis (adalah titik tengah) dan ordinat (adalah frekuensi) 
3. Menghubungkan titik tersebut dengan kurva/garis mulus.

Perhatikan data berikut dan poligon berikut:

4. Ogive

Ogive adalah grafik yang digambarkan berdasarkan data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif. Untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari, grafiknya berupa ogive positif, sedangkan untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari, grafiknya berupa ogive negatif.

a. Ogive Positif

b. Ogive Negatif

B. UKURAN PEMUSATAN DATA

Ukuran pemusatan data adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua (populasi) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data contoh. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.

Ukuran pemusatan data terdiri atas Rataan (Mean), Median, Modus, Kuartil, Desil, Persentil dll. Perhatikan penjelasan berikut !

a. Rataan (Mean)

Rataan adalah jumlah semua nilai pengamatan dibandingkan dengan banyaknya pengamatan.Rataan atau Mean dapat dilihat dalam dua data yaitu data tunggal maupun data berkelompok sebagai berikut:

1. Rataan Pada Data Tunggal

Rataan data tunggal dapat dirumuskan dengan:

2. Rataan Pada Data Berkelompok

Rataan berkelompok dapat dirumuskan dengan:

2.Nilai Tengah (Median)

Median adalah suatu nilaimu yang membagi data menjadi dua bagaian yang sama banyak. Sebelum  mencari median nilai datum harus diurutkan terlebih dahulu.

a. Median pada Data Tunggal

1. Jika diurutkan data n ganjil, maka:

2. Jika diurutkan data n genap, maka:

b. Median Pada Data Berkelompok

3.Modus

Modus adalah data pengamatan yang paling sering muncul di keseluruhan data pengataman. Suatu data pengamatan mungkin memiliki modus atau tidak. Dan mungkin memiliki modus lebih dari satu.

a. Modus Pada Data Tunggal

Pada data tunggal untuk menenentukan modus, maka dapat dilihat dari datum yang paling sering muncul.

b. Modus Pada Data Berkelompok

Modus data pada data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut:

4.Quartil

Kuartil adalah pembagian data menjadi empat bagian yang sama besar banyak datanya.

Terdiri dari kuartil bawah, tengah dan atas. (Jumlah data > 4).

1. Kuartil Pada Data Tunggal

Misalkan suatu data dengan ukuran n yang terdiri atas ilai datum yang telah diututkan dari terkecil ke yang terbesar.

Cara menentukan kuartil bawah,tengah dan atas untuk data ganjil adalah:

2. Kuartil Pada Data Berkelompok

Kuartil dirumuskan pada data berkelompok adalah:

5.Desil

Desil adalah pembagian data menjadi sepuluh bagian yang sama besar banyak datanya. (Jumlah data > 10).

Desil dapat kita lihat pada data tunggal dan data berkelompok yaitu:

a. Desil pada data tunggal

Desil didapat dengan membagi data yang sudah diurutkan menjadi 10 bagian yang sama sehingga diperoleh 9 pembagi.

Letak Desil:

b. Desil pada data berkelompok

6. Persentil

Persentil adalah salah satu metode untuk membagi data menjadi 100 sama banyak. Jadi, ada 99 buah nilai persentil.

a. Persentil untuk data Tunggal

Persentil berasal dari kata persen atau per seratus. Jadi, persentil merupakan pembagian data terurut ke dalam 100 bagian sama banyak. Dari 100 bagian tersebut, ada 99 buah pembatas nilai persentil.

Letak Persentil : 

b. Persentil untuk data Berkelompok

Rumus persentil data kelompok bergolong dipakai guna menentukan nilai persentil pada suatu data kelompok. Berikut adalah rumus persentil data kelompok :

C. UKURAN PENYEBARAN DATA

Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya Ukuran penyebaran data merupakan nilai yang menyatakan seberapa jauh data dari pusat data. Ukuran penyebaran data terdiri dari jangkauan, jangkauan  Antar kuartil, simpangan kuartil, Langkah (L), Pagar dalam dan Pagar Luar, Simpangan Rata-rata, Ragam(variansi) dan Simpangan Baku(standard Deviasi).

1. Jangkauan( Range)

 Jangkauan suatu data adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Jangkauan memiliki simbol yang berbeda-beda, dalam hal ini kita nyatakan dalam simbol "J" 

Jangkauan dinyatakan dalam rumus: 

                          

Keterangan:

J = Jangkauan

2. Jangkauan Antar Kuartil

Jangkauan antar kuartil disebut juga Hamparan.

Hamparan dinyatakan dengan rumus:

                      

3. Simpangan Kuartil

Simpangan Kuartil dinyatakan dengan rumus: 

                       

4.Langkah

Langkah dinyatakan dengan rumus:

                   

5. Pagar Dalam dan Pagar Luar

Jika ada datum yang nilainya di luar pagar dalam dan pagar luar,maka datanya dinamakan data tidak normal atau dinamakan pencilan.

Pagar dalam dan Pagar Luar dirumuskan dengan:

6. Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata sekumpulan data adalah rata-rata dari selisih mutlak nilai semua data terhadap rata-ratanya.

Simpangan rata-rata (mean deviation) dari data x1, x2, x3, …, xn dirumuskan dengan:

                    

Keterangan :