Materi, Soal dan Pembahasan Terlengkap tentang Persamaan Lingkaran Pusat A(p,q)

Salam Para Bintang

Setelah kita membahas materi Persamaaan Lingaran yang berpusat O(0,0), selanjutnya kita membahas materi Persamaan Lingkarang dengan pusat A(p,q). Apa sih bedanya? Perbedaannya tidak jauh sekali. Untuk itu, kalian wajiba menguasai materi awal tersebut agar semakin paham materi ini ya. Langsung saja kita membahas materinya!

A. Persamaan Lingkaran dengan pusat A(p,q)

Coba perhatikan gambar berikut!

Dengan menggunakan konsep jarak dua titik, dalam hal ini adalah titik A (p,q) dan titik P(x,y) yaitu:

$\left | AP \right |=\sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}}$

maka diperoleh:

$\left | AP \right |=\sqrt{\left ( x-p \right )^{2}+\left ( y-q \right )^{2}}$

karena AP merupakan jari-jari r

$\sqrt{\left ( x-p \right )^{2}+\left ( y-q \right )^{2}}=r$

Dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan, maka:

$\left ( \sqrt{\left ( x-p \right )^{2}+\left ( y-q \right )^{2}} \right )^{2}=r^{2}$

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat A(p,q) dengan jari-jari r dapat dinyatakan bentuk persamaan:

$(x-p)^{2}+(y-q)^2=r^2$

Untuk memahami persamaan ligkaran di atas, perhatikamn contoh berikut:

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat A(2,-2) dengan jari-jari lingkaran 4 cm.

Penyelesaian:

Diketahui pusat A(2,-2) dan r = 4, maka persamaan lingkarannya adalah:

$(x-p)^{2}+(y-q)^2=r^2$

Subsitusi p =2 , q = -2 , dan r = 4 maka:

$(x-2)^{2}+(y-(-2))^{2}=4^{2}$

$(x-2)^{2}+(y+2))^{2}=16$

B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Dari persamaan lingkaran yang berpusat di A(p,q) dengan jari-jari r yaitu:

$(x-p)^{2}+(y-q)^2=r^2$

diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan:

$x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}-2qy+q^{2}=r^{2}$

$x^{2}+y^{2}-2px-2qy+p^{2}+q^{2}-r^{2}=0$

Dengan memisalkan bahwa : A=-2px dan B= -2qy dan $C=p^{2}+q^{2}-r^{2}$

Sehingga diperoleh bentuk persamaan lingkaran:

$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

diperoleh:
$p =-\frac{1}{2}A \, \, dan\, \, q=-\frac{1}{2}B$

dan jari-jari adalah:

$r =\sqrt{p^{2}+q^{2}-C}\, \, atau\, \, r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

Contoh 2:

Persamaan lingkaran secara umum dengan pusat A(2,3) yang berjari-jari 5 cm adalah.....

Penyelesaian:

Diketahui pusat A(2,3) dan r = 5, maka:

$(x-p)^{2}+(y-q)^2=r^2$

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=5^{2}$

$x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9=25$
$x^{2}+y^{2}-2x-6y-12=0$

Dalam menentukan persamaan lingkaran, perlu kita pahami juga bagaimana menentukan panjang jari-jari:

1. Lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y

Jari- jari lingkaran dengan pusat A(p,q), jika menyinggung sumbu x maka:

$r=\left | q \right |$

Jari- jari lingkaran dengan pusat A(p,q), jika menyinggung sumbu y maka:

$r=\left | p \right |$

Jari- jari lingkaran dengan pusat A(p,q), jika menyinggung sumbu x dan sumbu y maka:

$r=\left | q \right |=\left | p \right |$

Contoh 3:

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat A(-3,-4) dimana lingkaran menyinggung sumbu x

Penyelesaian:

Diketahui pusat lingkaran A(-3,-4) dan menyinggung sumbu x , maka r = I-4I=4

sehingga diperoleh persamaan lingkaran:

$(x-p)^{2}+(y-q)^2=r^2$

$(x-(-3))^{2}+(y-(-4))^{2}=4^{2}$

$(x+3)^{2}+(y+4)^{2}=16$

Contoh 4:

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat A(1,3) dimana lingkaran menyinggung sumbu y

Penyelesaian:

Diketahui pusat lingkaran A(1,3) dan menyinggung sumbu y , maka r = I1I=1

sehingga diperoleh persamaan lingkaran:

$(x-p)^{2}+(y-q)^2=r^2$

$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=1^{2}$

$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=1$

2. Lingkaran pusat A(p,q) menyinggung garis ax+by+c = 0

Lingkaran dengan pusat A(p,q) menyinggung sebuah garis ax + by + c = 0, dapat diperoleh jari-jarinya. Perhatikan gambar berikut:

Jari-jari dapat diperoleh dengan rumus:

$r=\left | \frac{ap+bq+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |$

Contoh 5:

Persamaan lingkaran dengan titik pusat (5,-2) dan menyinggung garis 3x-4y+7=0 adalah....

Penyelesaian:

Diketahui bahwa lingkaran dengan titik pusat (5,-2) dan menyinggung garis 3x-4y+7=0

Pertama, kita menentukan jari-jari lingkaran tersebut dengan menggunakan rumus:

$r=\left | \frac{ap+bq+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |$

sehingga diperoleh:

$r=\left | \frac{3(5)-4(-2)+7}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}} \right |$

$r=\frac{30}{5}=6$

Dengan diperolehnya jari-jari yaitu 6, maka persamaan lingkaran dengan pusat A(5,-2) dengan jari -jari 6 adalah:

$(x-p)^{2}+(y-q)^2=r^2$

$(x-5)^{2}+(y+2)^{2}=6^{2}$
$x^{2}-10x+25+y^{2}+4y+4=36$
$x^{2}+y^{2}-10x+4y-7=0$

3. Lingkaran dengan pusat A(p,q) melalui 2 titik yaitu $M(x_{1},y_{1})\, \, dan\, \, N(x_{2},y_{2})$ yang merupakan diameter MN dirumuskan dengan:

Perhatikan gambar berikut:

$r=\frac{1}{2}\left | MN \right |=\frac{1}{2}\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}}$

Untuk menentukan pusat lingkaran A(p,q) dilakukan:

$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\, \, dan\, \, q=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

Contoh 6:

Jika diketahui A(-5,3) dan B (3,3) merupakan diameter lingkaran,tentukan persamaan lingkaran tersebut?

Penyelesaian:

Pertama, kita tentukan pusat :

$p=\frac{-5+3}{2}=-1\, \, dan\, q=\frac{3+3}{2}=3$

Pusat adalah (-1,3)

Kedua, jari-jari diperoleh:

$r=\frac{1}{2}\left | MN \right |=\frac{1}{2}\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}}$

$r=\frac{1}{2}\sqrt{(3-(-5))^{2}+(3-3)^{2}}$

$r=\frac{1}{2}\sqrt{64+0}=\frac{1}{2}.8=4$

Sehingga persamaan lingkarannya dengan pusat (-1,3) dan jari-jari = 4 adalah:

$(x-p)^{2}+(y-q)^2=r^2$

$\left ( x-(-1) \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=4^{2}$

$\left ( x+1 \right )^{2}+(y-3)^{2}=16$

$x^{2}+2x+1+y^{2}-6y+9=16$

$x^{2}+y^{2}+2x-6y-6=0$

C. Menentukan Persamaan Lingkaran, jika lingkaran tersebut melalui tiga titik sembarang.

Untuk menentukan persamaan lingkaran, jika lingkaran tersebut melalui 3 titik sembarang maka yang dilakukan adalah mensubsitusi ketiga titik tersebut ke persamaan umum lingkaran yaitu:

$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

sehingga diperoleh nilai A, B dan nilai C yaitu dengan cara eliminasi 3 persamaan linier 3 varibel. Sehingga, diperoleh persamaan lingkaran tersebut dengan mensubsitusikan kembali nilai A, B dan C ker persamaan lingkaran yang awal.

Contoh 7:

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (1,-1), (1,5) dan (4,2)!

Penyelesaian:

Diketahui persamaan umum lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Melalui titik (1,-1) ⇒ (1)2 + (-1)2 + A(1) + B(-1) + C = 0
⇔ 1 + 1 + A – B + C = 0
⇔ 2 + A – B + C = 0
⇔ A – B + C = –2 ......................(1)

Melalui titik (1,5) ⇒ (1)2 + (5)2 + A(1) + B(5) + C = 0
⇔ 1 + 25 + A +5B + C = 0
⇔ 26 + A + 5B + C = 0
⇔ A + 5B + C = –26 ......................(2)

Melalui titik (4,2) ⇒ (4)2 + (2)2 + A(4) + B(2) + C = 0
⇔ 16 + 4 + 4A +2B + C = 0
⇔ 20 + 4A + 2B + C = 0
⇔ 4A + 2B + C = –20 .....................(3)

dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

dari persamaan (1) dan (3) diperoleh:

A = –2 dan B = –4 disubtitusi ke persamaan (1), diperoleh:

A -B + C = -2

-2 -(-4) + C = -2

-2+4 + C = -2

C = -4

diperoleh nilai A = -2, B = -4 dan C = - 4, maka persamaan lingkaran yang diperoleh adalah:

x2 + y2 -2x -4y -4 = 0

Contoh 8:

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,-1) , (5,3) dan (6,2) kemudian tentukan pula pusat dan jari-jari lingkaran.

Penyelesaian:

Persamaan lingkaran adalah x² + y² + ax + by + c = 0

Melalui (3,-1) maka ;
   x² + y² + ax + by + c = 0
3² + (-1)² + a.3 + b.(-1) + c = 0
   9 + 1 + 3a - b + c = 0
   3a - b + c + 10 = 0 .......... (1)

Melalui (5,3) maka ;
  x² + y² + ax + by + c = 0
5² + 3² + a.5 + b.3 + c = 0
  25 + 9 + 5a + 3b + c = 0
       5a + 3b + c + 34 = 0 .......... (2)

Melalui (6,2) maka ;
x² + y² + ax + by + c = 0
6² + 2² + 6a + 2b + c = 0
36 + 4 + 6a + 2b + c = 0
   6a + 2b + c + 40 = 0 .......... (3)

Dari persamaan (1) dan (2) :
   3a - b + c + 10 = 0
5a + 3b + c + 34 = 0
& nbsp; -2a - 4b + 0 - 24 = 0
   a + 2b + 12 = 0 .......... (4)

Dari persamaan (2) dan (3) :
5a + 3b + c + 34 = 0
6a + 2b + c + 40 = 0
      -a + b - 6 = 0
    a - b + 6 = 0 .......... (5)

Dari persamaan (4) dan (5) :
a + 2b + 12 = 0
   a - b + 6 = 0
   3b + 6 = 0
     b = -2

b = -2 disubstitusikan ke persamaan (5) :
a - b + 6 = 0
a + 2 + 6 = 0
   a + 8 = 0
   a = -8

a = -8 , b = -2 disubstitusikan ke persamaan (1) :
   3a - b + c + 10 = 0
3(-8) - (-2) + c + 10 = 0
    -24 + 2 + c + 10 = 0
      c = 12

Jadi persamaan lingkaran adalah :
x² + y² + ax + by + c = 0
x² + y² - 8x - 2y + 12 = 0

Maka diperoleh :
2A = -8 2B = -2     C = 12
  A = -4   B = -1

r = √A² + B² - C
  = √(-4)² + (-1)² - 12
  = √16 + 1 - 12 = √5

Jadi, pusat (-A,-B) = (4,1) dan jari-jari r = √5

Contoh 9:
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-4,0) , (0,4) dan (0,-4) !

Penyelesaian:
Lingkaran tersebut melewati tiga koordinat titik, sehingga akan disubstitusikan koordinat titik - titik tersebut untuk menentukan nilai a, b dan c yang membentuk persamaan lingkaran.
Melalui titik P(-4 , 0)
x² + y² + Ax + By + C = 0
(-4)² + (0)² + a(-4) + b(0) + c = 0
16 - 4A + C = 0 atau -4A + C = -16 atau 4A - C = 16 (persamaan 1)
Melalui titik Q(0 , 4)
x² + y² + Ax + By + C = 0
(0)² + (4)² + A(0) + B(4) + C = 0
16 + 4B + C = 0 atau 4B+ C = -16 (persamaan 2)
Melalui titik R(0 , -4)
x² + y² + Ax + By + C = 0
(0)² + (-4)² + A(0) + B(-4) + C = 0
16 - 4B + C = 0 atau -4B + C = -16 atau 4B - C = 16 (persamaan 3)
Kemudian, eliminasi persamaan 2 dan 3 untuk menentukan nilai B.
4B + C = -16
4B - C = 16 +
8B = 0
B = 0
Substitusikan nilai b ke persamaan 2.
4B + C = -16
4(0) + C= -16
C = -16
Substitusikan nilai c ke persamaan 1.
4A - C = 16
4A - (-16) = 16
4A + 16 = 16
4A = 0
A = 0
Nilai A = 0, B = 0 dan C = -16, maka persamaan lingkarannya adalah :
x² + y² + Ax + By + C = 0
x² + y² - 16= 0

BIMBEL ONLINE MASUK SMA UNGGUL 2025 (SMA DEL, YASOP, MATAULI, TARNUS, THAMRIN, PRADITA, LAB SCHOL

Pintar gak jaminan masuk di SMA Plus /Unggul perlu trik untuk menjawab soal. Bagaimana supaya kalian bisa dan siap untuk ujian? So pasti belajar tekun dan berlatih membahas soal. Ingat soal-soal masuk SMA Plus bukan sekedar materi SMP saja, Dalam ujian sudah terdapat materi SMA dan bahkan materi Olimpiade. Di siini kalian akan dilatih oleh pengajar profesional di bidangnya. Kalian akan dilatih soal-soal asli masu sma plus/unggulan. Silahkan join dari sekarang !! Hubungi Admin: 082163596296

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS SIMAMA POLTEKKES 2024

Klik Gambar untuk Daftar Peserta Intensif !! Buat adik-adik yang ingin mempersiapkan diri untuk di POLTEKKES impian adik-adik semua di tahun 2023 ini.Ruang Para Bintang hadir untul membimbing adik-adik secara online. Kita akan membahas materi,soal asli dan soal prediksi tahun 2023.Silahkan bergabung dengan ruang para bintang.Pastikan adik-adik siap untuk SIMAMA POLTEKKES tahun 2023.Tidak ada kata tidak belajar.Mau lulus dengan Otomati pastinya membahas soal dengan Pengajar yang berpengalaman.Kalian akan dibimbing oleh pengajar (S-1 dan S-2) dari PTN.Kami tunggu adik-adik bergabung.Kami siap menghantar kalian ke Poltekkes impian kalian. Belajar 3 Pertemuan setiap minggu . Hubungi: 082163596296 (WA)

Materi, Soal dan Pembahasan Terlengkap tentang Persamaan Lingkaran Pusat A(p,q)

Leave a Comment

19 comments:

BIMBEL ONLINE MASUK SMA UNGGUL 2025 (SMA DEL, YASOP, MATAULI, TARNUS, THAMRIN, PRADITA, LAB SCHOL

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS SIMAMA POLTEKKES 2024

AYO BERLANGGANAN DI RUANG PARA BINTANG

Fanpage Ruang Para Bintang

Anda Pengunjung ke-

ARTIKEL TERBAIK

Artikel Mingguan

KATEGORI PILIHAN

INFORMASI UTBK SBMPTN/SIMAMA POLTEKKES/UM-PTKIN/SBMPN POLITEKNIK

INFO KEDINASAN/TUTORIAL PENDIDIKAN

UNBK & INFO SMA

Materi, Soal dan Pembahasan Terlengkap tentang Persamaan Lingkaran Pusat A(p,q)

Related Posts

Leave a Comment

19 comments:

BIMBEL ONLINE MASUK SMA UNGGUL 2025 (SMA DEL, YASOP, MATAULI, TARNUS, THAMRIN, PRADITA, LAB SCHOL

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS SIMAMA POLTEKKES 2024

AYO BERLANGGANAN DI RUANG PARA BINTANG

Fanpage Ruang Para Bintang

Anda Pengunjung ke-

ARTIKEL TERBAIK

Artikel Mingguan

KATEGORI PILIHAN

INFORMASI UTBK SBMPTN/SIMAMA POLTEKKES/UM-PTKIN/SBMPN POLITEKNIK

INFO KEDINASAN/TUTORIAL PENDIDIKAN

UNBK & INFO SMA