Teorema Sisa, Teorema Faktor dan Masalah Habis dibagi Beserta Contoh Soal

Salam para Bintang

Selanjutnya kita mempelajari dan membahas materi dan soal-soal tentang teorema sisa,teorema faktor dan masalah habis dibagi. Soal-soal ini sangat sering muncul di ujian masuk PTN dan ujian Sekolah tentunya. Jadi,kalian harus sangat paham tentang materi ini. Nah, langsung kita bahas secara jelas di artikel ini!

A. Teorema Sisa

Dalam teorema sisa, ada beberapa hal yang perlu dipahami yaitu masalah pembaginya. Misalanya;

• Jika f(x) dibagi (x-k) maka sisanya adalah f(k)
• Jika f(x) dibagi (x+k) maka sisanya adalah f(-k)
• Jika f(x) dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f(b/a)
• Jika f(x) dibagi (ax+b) maka sisanya adalah f(-b/a)
• Jika f(x) habis dibagi (x-a) maka sisanya adalah f(a) = 0

Contoh 1:

Tentukan sisa pembagian jika suku banyak   dibagi oleh  !

Penyelesaian:

Untuk menentukan sisa pembagian  oleh , maka kita harus tentukan dulu pembuat nol dari pembagi yaitu  x -1 = 0, maka x = 1

Sehingga , sisa pembagian adalah  P(1) maka:

Sehingga diperoleh sisa jika suku banyak   dibagi oleh  adalah 1

Contoh 2:

Tentukan sisa pembagian jika suku banyak   dibagi oleh  !

Penyelesaian:

Untuk menentukan sisa pembagian  oleh , maka kita harus tentukan dulu pembuat nol dari pembagi yaitu  x +2 = 0, maka x = -2

Sehingga , sisa pembagian adalah  P(-2) maka:

Sehingga diperoleh sisa jika suku banyak   dibagi oleh  adalah 16

Contoh 3:

Tentukan sisa pembagian jika suku banyak   dibagi oleh  !

Penyelesaian:

Untuk menentukan sisa pembagian  oleh , maka kita harus tentukan dulu pembuat nol dari pembagi yaitu  2x +1 = 0, maka x = -1/2

Sehingga , sisa pembagian adalah  P(-1/2) maka:

Sehingga diperoleh sisa jika suku banyak  dibagi oleh  adalah 12

Contoh 4:

Tentukan nilai m pembagian jika suku banyak    habis dibagi oleh  !

Penyelesaian:

Untuk menentukan nilai m pada pembagian  oleh , maka kita harus tentukan dulu pembuat nol dari pembagi yaitu  x +1 = 0, maka x = -1, dimana habis dibagi adalah sisa = 0

Sehingga , sisa pembagian adalah  P(-1) = 0 maka:

Karena, , maka:

Sehingga diperoleh nilai m jika suku banyak  dibagi oleh  adalah -4

B. Teorema Faktor

Misalkan, suku banyak f(x) dibagai suku banyak g(x), diperoleh hasil baginya h(x) dan sisanya adalah s(x), maka dapat dituliskan sebagai berikut:

f(x) = g(x).h(x) + s(x)

Jika s(x) = 0, maka f(x) = g(x).h(x), artinya g(x) membagi f(x) atau dengan kata lain g(x) maupun h(x) merupakan faktor dari f(x)

Kesimpulan, 

• Jika (x-k) adalah faktor dari P(x) , maka  P(k) = 0
• Jika (x +k) adalah faktor dari P(x) , maka P(-k) = 0
• Jika (ax+k) adalah faktor dari P(x), maka P( -k/a) = 0
• Jika (ax-k) adalah faktor dari P(x), maka P(k/a) = 0

Contoh 5:

Tentukan nilai m pembagian jika  adalah faktor dari suku banyak    !

Penyelesaian:

Untuk menentukan nilai m, karena   adalah faktor dari suku banyak  , maka kita harus tentukan dulu pembuat nol dari faktor yaitu  x +1 = 0, maka x = -1,

Sehingga, P(-1) = 0 maka:

Karena, , maka:

Sehingga diperoleh nilai m = -4

Contoh 6:

Salah satu faktor suku banyak   adalah .  Faktor lainnya adalah... 

Penyelesaian:

Untuk menentukan nilai m, karena   adalah faktor dari suku banyak  , maka kita harus tentukan dulu pembuat nol dari faktor yaitu  x +2 = 0, maka x = -2,

Sehingga, P(-2) = 0 maka:

Karena, , maka:

Sehingga diperoleh  

Contoh 7: