Materi, Soal dan Pembahasan Olimpiade Ketidaksamaan QM-AM-GM-HM

Salam Para Bintang

Kali ini saya akan coba berbagi tentang salah satu materi Olimpiade yang sangat sering muncul. Dalam dunia sekolah, materi ini sangat jarang terdengar bagi siswa/i yang tidak fokus ke Olimpiade. Soal ini hanya banyak digunakan ketika berhadapan dalam soal Olimpade mulai dari KSK,KSP, dan KSN maupun tingkat internasional.

Tetapi tidak ada salahnya kita bahas dan pelajari secara dalam dari sekarang, untuk mempersiapkan diri kita masuk ke dalam dunia olimpiade. Untuk memahami materi ketaksamaan QM-AM-GM-HM, langsung kita bahas satu per satu. Simak secar mendalam !

1. Rataan Kuadrat (Quadrat Mean-QM)

Jika diberikan data (bilangan) , maka nilai dari rataan kuadrat data tersebut dapat dirumuskan dengan:

                           

untuk data a dan b maka:

         

untuk data a,b dan c maka:



2. Rataan Aritmetik (Arithmetic Mean-AM)
Jika diberikan data (bilangan) , maka nilai dari rataan aritmetik data tersebut dapat dirumuskan dengan:

                         

Untuk data a, b maka:

                           

Untuk data a, b dan c maka:

                        

3. Rataan Gemetrik (Geometric Mean- GM)
Jika diberikan data (bilangan) , maka nilai dari rataan geometrik data tersebut dapat dirumuskan dengan:

                           

untuk data a,b maka:

                             

untuk data a,b dan c maka:

                            


4. Rataan Harmonik (Harmonic Mean -HM)
Jika diberikan data (bilangan) , maka nilai dari rataan harmonik data tersebut dapat dirumuskan dengan:

                    

Untuk data a, b maka:

                      

Untuk data a, b dan c maka:



Nah, kesimpulan yang dapat kita tarik adalah bahwa:
Untuk data yang sudah terurut dari terkecil ke yang terbesar diperoleh hubungan QM-AM-GM-HM yaitu:

                             atau,
                             

maka untuk data a,b diperoleh hubungan:

                                       

Untuk mempertajam penguasaan kita terhadaap materi ini, diperlukan pembahasan soal dan berlatih soal-soal yang menggunaka konsep ini. Sekarang mari kita simak soalnya satu persatu:

Contoh 1:
Nilai minimum dari :
 
 untuk   adalah.......

Pembahasan:
Dengan menyerderhanakan:

 

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, maka diperoleh:

                           
 
 




Dari penyelesaian di atas diperoleh bahwa nilai minimum f(x) adalah  12


Contoh 2:
Banyaknya pasangan bilangan real (a,b) yang memenuhi persamaan  adalah....

Pembahasan:



Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, maka diperoleh:

                           
                       
                      

                      

               

Karena  , maka diperoleh:









maka:



Kesamaan dapat terjadi apabila



maka

  harus bertanda sama.

Sehingga diperoleh, banyak pasangan real (a,b) yang memenuhi adalah 2 yaitu (1,1) dan (-1,-1)

Contoh 3:
Untuk bilangan real positif  xx dan y dengan . Tentukan nilai minimum dari 

Pembahasan:
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, maka diperoleh:

                          

              
             
             
             

Karena diketahui bahwa  , maka:

 



Jadi, nilai minimumnya adalah 9

Contoh 4:
Nilai minimum dari  dalah.....

Pembahasan:
Dengan memanipulasi  menjadi

 

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, menggunakan 3 suku maka diperoleh:

                          





Nilai minimumnya adalah 

Contoh 5:
Diberikan f(x)=x2+4. Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi f(xy)+f(yx)=f(y+x). Nilai minimum dari x+y adalah...

Pembahasan:
Dengan menentukan f(xy), f(y-x) dan f(y+x) yaitu:





sehingga diperoleh:


x2y24xy+4=0(xy2)=0xy2=0xy=2

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, menggunakan 2 suku maka diperoleh:

                          

                         

Karena xy = 2,maka
                             

Jadi, nilai minimumnya adalah  

Contoh 6:
Jika jumlah dua bilangan bulat positif adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah....

Pembahasan:
Misalkan bilangan bulat positif tersebut adalah x dan y, sehingga x + y = 24. Pertanyaannya adalah nilai maksimum kebalikan bilangan tersebut yaitu  

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-HM, menggunakan 2 suku maka diperoleh:
                                                      
                       
                    
                         
                        
                

Jadi,nilai minimum jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah  

Contoh 7:
Banyaknya bilangan real x yang memenuhi persamaan 
 adalah...
Pembahasan:
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, menggunakan 5 suku maka diperoleh:
                                          


                                                       

                                                        
                                                        

Ketaksamaan di atas bernilai benar apabila    bernilai negatif atau nol. Karena x adalah bilangan real sudah dipastikan x tidaklah negatif yang artinya  adalah  bernilai 0. Jika disubsitusi x = 0 ke persamaan , maka tidak akan ditemukan hasilnya 2009 (bukan nol).
Jadi, diperoleh tidakada satupun bilangan real x yang memenuhi 

No comments

INFORMASI PENDAFTARAN SISWA-SISWI BARU DI BIMBINGAN BELAJAR STAR ED TAHUN 2020/2021

Hai semua calon pemilik masa depan.... Salam Para Bintang Kali ini saya akan membagikan sedikit informasi tentang penting...

Theme images by mariusFM77. Powered by Blogger.
//