Materi, Soal dan Pembahasan Menentukan Fungsi Naik dan Turun pada Fungsi Trigonometri

Salam Para Bintang

Kali ini kita akan membahas materi menentukan  Fungsi Naik dan Fungsi Turun pada fungsi Trigonometri sebagai lanjutan dari materi sebelumnya yang terdapat pada artikel berikut:

Baca Juga:

• Menentukan Turunan Fungsi Trigonometri dengan menggunakan Aturan Rantai
• Materi Lengkap Turunan Fungsi Trigonometri : Pembuktian Rumus Turunan dengan Teorema Limit
• Materi, Soal dan Pembahasan - Menentukan Titik Stasioner dan Nilai Stasioner Fungsi Trigonometri

A. Fungsi Naik dan Turun

Setelah mempelajari tentang materi gradien dan mengetahui bahwa kemiringan suatu garis ditentukan oleh nilai gradiennya. Jika m > 0, maka garis akan miring ke kanan (naik) dan jika m < 0, maka garis akan miring ke kiri (turun). Adapun jika m = 0, maka garis sejajar dengan sumbu x (horizontal, tidak naik dan tidak turun). Amati grafik di bawah ini !

Dari gambar di atas, kurva fungsi f(x) naik jika gradien garis singgungnya positif, sedangkan grafik fungsi f(x) turun jika gradien garis singgungnya negatif. Karena gradien garis singgung kurva f(x) di sebarang titik adalah f '(x) maka bentuk tutunan kurva f(x) dapat ditentukan oleh nilai tutunannya, yaitu sebagai berikut:

a. Kurva f(x) naik pada interval I  jika f '(x) > 0 pada interval tersebut

b. Kurva f(x) turun pada interval I jika f '(x) < 0 pada interval tersebut

Untuk memahami konsep di atas, perhatikan contoh berikut:

Contoh 1:

Interval naik  dan turun fungsi f(x) = sin (2x-4) pada interval  adalah...

Penyelesaian:

Diketahui f(x) = sin (2x - 4), maka f '(x) = 2 cos (2x-4)

Kurva f(x) = sin (2x - 4) naik pada interval . Jika f '(x) > 0 ,maka 2 cos (2x-4) > 0 dan kurva f(x) turun pada interval . Jika f'(x) < 0,maka 2 cos (2x-4) < 0.

Kemudian, kita menentukan nilai pembuat nol fungsi f '(x) = 2 cos (2x-4) dimana pembuat nol fungsi f '(x) dicapai jika f '(x) = 0 yaitu 2 cos (2x-4) = 0.

Sesuai dengan persamaan trigonometri cosinus diperoleh:

Kasus 1:

Untuk k = 0 , maka : 

Untuk k = 1, maka: 


Kasus 2:

Untuk k = 0 , maka :  

Untuk k = 1, maka: 

Untuk x > 1, nilai x sudah berada pada interval . Dengan demikian pembuat nol fungsi f '(x)  ada pada interval  adalah : , , , .

Langkah berikutnya adalah meletakkan semua nilai pembuat  nol  fungsi f '(x) ke garis bilangan:

Kemudian memeriksa nilai fungsi f '(x) untuk setiap interval yaitu:

Untuk x = 1, f ' (1) = 2  cos (2 - 4) = -0,83 (negatif)

Untuk x = 2, f '(2) = 2 cos (4 - 4) = 2 (positif)

Untuk x = 3,f '(3) = 2cos (6 -4) = -0.83 (negatif)

Untuk x = 5, f '(5) = 2 cos (10 -4) = 1,92 (positif)

Untuk x = 6. f ' (5) = 2 cos (12-4) = -0,29 (negatif)

Dari hasil pengujian satu nilai pada setiap interval , diperoleh nilai fungsi f '(x) pada setiap interval sebagai berikut:

Jadi,grafik f(x) = sin (2x-4) naik pada interval:

 dan 

Jadi,grafik f(x) = sin (2x-4) turun pada interval:

 dan dan

Contoh 2:

Interval fungsi naik dan turun f(x) = cos 2x , untuk interval  ?

Penyelesaian:

Diketahui f(x) = cos 2x , maka f '(x) = -2 sin 2x

Kurva f(x) = 2 cos 2x naik pada interval . Jika f '(x) > 0 ,maka -2sin 2x > 0 dan kurva f(x) turun pada interval . Jika f'(x) < 0,maka -2 sin 2x < 0.

Kemudian, kita menentukan nilai pembuat nol fungsi f '(x) = -2 sin 2x dimana pembuat nol fungsi f '(x) dicapai jika f '(x) = 0 yaitu -2 sin 2x

- 2 sin 2x = 0

sin 2x = 0

sin 2x = sin 0

Sesuai dengan persamaan trigonometri cosinus diperoleh:

Kasus 1:

Untuk k = 0 , maka :

Untuk k = 1, maka: 
Untuk k = 2, maka: 

Kasus 2:

Untuk k = 0 , maka : 

Untuk k = 1, maka:

Dengan demikian pembuat nol fungsi f '(x)  ada pada interval adalah : 

                                 

Langkah berikutnya adalah meletakkan semua nilai pembuat  nol  fungsi f '(x) ke garis bilangan:

Kemudian memeriksa nilai fungsi f '(x) untuk setiap interval yaitu: Dengan mengambil salah satu nilai x pada garis bilangan secara sembarang yaitu; , sehingga diperoleh

 

bernilai negatif

Dari hasil pengujian satu nilai pada setiap interval , diperoleh nilai fungsi f '(x) pada setiap interval sebagai berikut:

Jadi,grafik f(x) = cos 2x  naik pada interval:

dan

Jadi,grafik  f(x) = cos 2x turun pada interval:

 dan

Demikianlah berbagai contoh soal yang bisa memandu kalian dalam belajar tentang fungsi naik dan turun. Silahkan dipelajari dengan baik, semoga kalian bisa ke depan. Salam para Bintang

Ingin mengikuti bimbel  mulai dari kelas X, XI dan XII SMA untuk persiapan juara kelas dan lulus PTN boleh bergabung di bimbel star ed.