Materi, Soal dan Pembahasan tentang Modulo dan Kongruensi banyak ditemukan dalam soal-soal Olimpiade

Salam Para Bintang

Khusus pelajar yang senang belajar Matematika khususnya para pecinta bidang Olimpiade Matematika dan gemar mengikuti lomba atau kompetisi sains. Nah, dalam tulisan ini admin ingin berbagi tentang materi yang sangat wajib dikuasai oleh siswa/i jika ingin mengikuti yang namanya Olimpiade baik itu tingkat sekolah, tingkat kabupaten/kota, provinsi, nasional dan bahkan internasional. Materi ini adalah materi yang harus benar-benar dikuasai ya. Materi ini bernama "Modulo" dan "Kongruensi". Ada yang sudah pernah dengar?

Mungkin ada yang sudah pernah dan ada juga yang belum pernah mendengar sama sekali. Yuk kita bahas sekarang di sini sekarang.Materi Modulo ini berhubungan dengan pembagian sewaktu masa sekolah dasar (SD) loh. Jadi, so pasti bisa dipahami ya .

KONSEP DASAR MODULO

Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat lebih besar nol. Operasi a mod m (dibaca a modulo m) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. 

Jika m = 1 untuk a mod m tidak ditulis karena a mod 1 nilainya pasti sama dengan nol. Semua bilangan bulat pasti habis dibagi 1. Sehingga tidak ada gunanya mempertanyakan mod 1.

Jika kita baca defenisinya:

>Defenisi:
Misalkan $n$ adalah suatu bilangan bulat positif, $a$ dan $b$ adalah suatu bilangan bulat.
$\mathrm{"a}$ dikatakan kongruen $b$ modulo $n$, ditulis $a\equiv b\left(modn\right)$ jika dan hanya jika $(a-b)$ adalah kelipatan $n$ " ( m I (a-b) )

m I (a -b ) dibaca m membagi habis ( a-b)

Untuk memahami defenisi di atas, coba perhatikan contoh berikut:

Contoh 1:

 dibaca 17 kongruen 2 modulo 5  artinya 17 dan 2 memiliki sisa yang sama jika dibagi oleh 5 atau  5 I (17-2)

Dalam mempelajari modulo dan kekongruenan, ada beberapa konsep yang harus benar-benar menjadi dasar dan harus dipahami dengan baik yaitu sebagai berikut:

SIFAT DISTRIBUTIF MODULO

Jika a dan b  bulangan bulat dan m adalah bilangan asli, maka berlaku:

KETERHUBUNGAN MODULO

Keterhubungon modulo ini menjadi dasar dalam menyelesaikan masalah kekonruenan, berikut sifat-sifatnya:

                                  

Beberapa teorema yang sering dipakai dalam penyelesaian persoalan kongruensi modulo, seperti;

Teorema Kecil Fermat

Misalkan adalah bilangan prima dan sembarang bilangan bulat. Dengan demikian, selalu habis dibagi p. Notasi modulo dinyatakan sebagai berikut:

                                             

Teorema Euler

Misalkan n adalah bilangan bulat positif dan a adalah bilangan bulat yang relatif prima dengan n, maka 

                                        

Keterangan:  adalah fungsi yang menghitung banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari n dan relatif prima  dengan n. 

Teorema Fungsi Phi  Euler 

Misalkan n adalah bilangan bulat positif dan bentuk faktorisasi primanya dinyatakan oleh:

maka banyaknya bilangan yang relatif prima dengan n dinyatakan oleh:

Teorema Wilson

Jika p bilangan prima,  

Untuk memehami semua teorema di atas, silahkan diperhatikan contoh dan pemabahasan berikut :

Contoh 1

Sisa hasil bagi 2 + 7 + 12 + 17 +.........+ 1002 oleh 5 adalah.....

Pembahasan: 

 

karena sukunya ada sebanyak 201,dengan menggunakan konsep barisan aritmatika, maka:

Jadi, Sisa hasil bagi 2 + 7 + 12 + 17 +.........+ 1002 oleh 5 adalah 2

Contoh 2

Pembahasan: 

Karena 13 merupakan bilangan prima,maka untuk menyelesaikan dengan menggunakan Dalil Fermat:

ekivalen 

Jadi, hasil baginya adalah 1

Contoh 3

Pembahasan: