MATERI PERSAMAAN EKSPONEN UNTUK SMA

Persamaan Eksponen terdiri atas beberapa persamaan, yaitu:

A.  Bentuk  a^f(x) = a^p

Jika a^f(x) = a^p maka f(x) = p dimana a > 0 dan a ≠ 1.

 Contoh 1 
Tentukan penyelesaian dari 10^2x-5 = 1000
 Jawab :
Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.
10^2x-5 = 1000
10^2x-5 = 10³
2x-5 = 3
2x = 5+3
2x = 8
x = 4

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4

B.  Bentuk  a^f(x) = a^g(x)

Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x) dimana a > 0 dan a ≠ 1.

 Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari 10^2x-7 = 1000^1-x
Jawab :
Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.
10^2x-7 = 1000^1-x
10^2x-7 = (10³)^1-x
10^2x-7 = 10^3-3x
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2

C.  Bentuk  a^f(x) = b^f(x) 

Jika a^f(x) = b^f(x) maka  f(x) = 0 dimana a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

 

 Contoh 3
Tentukan penyelesaian dari 5^x-2 = 3^2x-3

Jawab :
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
5^2x-3 = 5^2x-3
Berdasarkan sifat, maka
2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3/2



 Contoh 4
Tentukan penyelesaian dari 5^x-2 = 3<sup>2x-4

Jawab :</sup>

^{Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :}

<sup>5x-2 =3 2x-4
 5x-2 =32(x--2)
 5x-2 =9(x--2)
Berdasarkan sifat, maka
x - 2 = 0
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2</sup>

D.  Bentuk  a^f(x) = b^g(x) 

Jika a^f(x) = b^g(x) maka log a^f(x) = log b^g(x) dimana a, b > 0 dan a, b ≠ 1. 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b yang nilainya konstan. Dan pangkatnya juga berbeda yaitu f(x) dan g(x). Solusi dari bentuk seperti ini dapat kita tentukan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.

 Contoh 5
Tentukan penyelesaian dari ($\frac{3}{}$)^2x = 2^5-3x

Jawab :
Basis pada kedua ruas persamaan diatas berbeda, begitu pula pangkatnya. Berdasarkan sifat C, maka
log  ($\frac{3}{}$)^2x = log 2^5-3x
2x log ($\frac{3}{}$) = (5 - 3x) log 2       log aⁿ = n log a
2x log ($\frac{3}{}$) = 5 log 2 - 3x log 2   
2x log ($\frac{3}{}$) + 3x log 2 = 5log 2
x (2log ($\frac{3}{}$) + 3log 2) = 5log 2
x (log($\frac{3}{}$)²+ log(2)³ ) = log 2⁵                   log a + log b = log (ab)
x (log 9+ log 8 )= $\frac{lo\mathrm{g\; 32\backslash }}{}$
$\frac{\mathrm{x\; (log\; 72\; )=\; log\; 32}}{}$
x = ⁷²log 32

Jadi, penyelesaiannya adalah  x = ⁷²log 32

E.  Bentuk  f(x)^g(x) = 1

Jika f(x)^g(x) = 1 maka    (1)  f(x) = 1  (2)  f(x) = -1,  dengan syarat g(x) genap (3)  g(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0


Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena 1^g(x) = 1 benar untuk setiap g(x), maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = 1.
2. Karena (-1)^g(x) = 1 benar jika g(x) genap, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap.
3. Karena f(x)⁰ = 1 benar jika f(x) ≠ 0, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika g(x) = 0 dengan syarat f(x) ≠ 0.

 Contoh 6
Tentukan HP dari (x + 3)^x-2 = 1

Jawab :
Misalkan : f(x) = x + 3  dan  g(x) = x - 2

Solusi 1 : f(x) = 1
x + 3 = 1
x = -2
x = -2  ✔

Solusi 2 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
x + 3 = -1
x = -4  ✔
Periksa :
Untuk x = -4  →  g(x) = -4 - 2 = -6  (genap)
Karena g(x) genap, maka x = -4 memenuhi.

Solusi 3 : g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0
x - 2 = 0
x = 2  ✔
Periksa :
Untuk x = 2  →  f(x) = (2) +3 = 5 ≠ 0.
Karena f(x) ≠ 0, maka x = 1 memenuhi.

HP = {-2, -4,2}

F.  Bentuk  f(x)^h(x) = g(x)^h(x) 

Jika f(x)^h(x) = g(x)^h(x) maka   
(1)  f(x) = g(x)
(2)  f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
(3)  h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0


 Contoh 7
Tentukan HP dari (2x + 1)^x-6 = (x + 5)^x-6

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 1,  g(x) = x + 5  dan  h(x) = x - 6

Solusi 1 : f(x) = g(x)
2x + 1 = x + 5
x = 4  ✔

Solusi 2 : f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
2x + 1 = -(x + 5)
2x + 1 = -x - 5
3x = -6
x = -2  ✔
Periksa :
Untuk x = -2  →  h(x) = -2 - 6 = -8 (genap)
Karena h(x) genap, maka x = -2 memenuhi.

Solusi 3 : h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
x - 6 = 0
x = 6  ✔
Periksa : Untuk x = 6 maka
f(x) = 2(6) + 1 = 13 ≠ 0
g(x) = 6 + 5 = 11 ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = 6 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai nol, maka x = 6 tidak memenuhi.

∴ HP = {-2, 4, 6}

G.  Bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) 

Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x) maka   
(1)  g(x) = h(x)
(2)  f(x) = 1 
(3)  f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4)  f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif

 Contoh 8
Tentukan HP dari (x - 4)^4x = (x - 4)^1+3x

Jawab :
Misalkan : f(x) = x - 4,  g(x) = 4x  dan h(x) = 1 + 3x

Solusi 1 : g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1  ✔

Solusi 2 : f(x) = 1
x - 4 = 1
x = 5  ✔

Solusi 3 : f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x - 4 = -1
x = 3  ✔
Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12  (genap)
h(x) = 1 + 3(3) = 10  (genap)
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4 : f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif.
x - 4 = 0
x = 4  ✔
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16  (positif)
h(x) = 1 + 3(4) = 13  (positif)
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.

∴ HP = {1, 3, 4, 5}

H.  Bentuk A(a^f(x) )² +B( a^f(x)) +C=0

Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini, maka kita gunakan adalah konsep pemisalan yaitu memisalkan a^f(x)= P sehingga diperoleh :

 AP² +BP +C = 0 (bentuk ini adalah bentuk persamaan Kuadrat sehingga memperoleh akar-akar yaitu P1 dan P2)

 Contoh 7 
Tentukan HP dari 4^x+1 - 5. 2^x+2 + 16 = 0

Jawab :
4^x+1 - 3. 2^x+1 + 8 = 0
4(2^x)² - 5. 2^x . 2² + 16 = 0 (kedua ruas dibagi 4) maka diperoleh:
(2^x)² - 5(2^x) + 4  = 0

Misalkan 2^x = p, sehingga
p² - 5p + 4 = 0
(p - 1)(p - 4) = 0
p = 1 atau p = 4

Untuk p = 1
2^x = 1
2^x = 2⁰
x = 0

Untuk p = 4
2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

Jadi, HP = {0, 2}



Sebagai latihan disini diberikan soal-soal untuk lebih memahami persamaan eksponen:


 Latihan 1 
Tentukan penyelesaian dari (0,125)^x+1 = $\sqrt{{16}^{1-x}}$

Jawab :
(0,125)^x+1 = $\sqrt{{16}^{1-x}}$
${\left(\frac{1}{8}\right)}^{x+1}$ = ${16}^{\frac{1-x}{2}}$
${\left(2^{-3}\right)}^{x+1}$ = ${\left(2^4\right)}^{\frac{1-x}{2}}$
(2)^-3x-3 = (2)^2-2x

Berdasarkan sifat A diperoleh
-3x - 3 = 2 - 2x
-x = 5
x = -5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -5


 Latihan 2 
Jika penyelesaian dari 5^t4-1 = 3^t4-1 adalah t₁ dan t₂ dengan t₁ > t₂, tentukan nilai t₂ - t₁ !

Jawab :
Berdasarkan sifat B maka
t⁴ - 1 = 0
(t² - 1)(t² + 1) = 0
(t + 1)(t - 1)(t² + 1) = 0
t = -1  atau t = 1
Catatan : t² + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real, dapat diuji dari nilai diskriminannya yang kurang dari nol.

Karena t₁ > t₂ , maka t₁ = 1 dan t₂ = -1. Akibatnya
t₂ - t₁ = -1 - 1 = -2


 Latihan 3 
Tentukan HP dari 3^x2-1 = 2^x+1

Jawab :
Berdasarkan sifat C, maka
log 3^x2-1 = log 2^x+1
(x² - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
Perhatikan bahwa ruas kiri dan kanan mempunyai faktor yang sama, yaitu (x + 1). Artinya, ruas kiri akan sama dengan ruas kanan ketika (x + 1)  = 0.
x + 1 = 0
x = -1

Untuk (x + 1) ≠ 0, maka
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x - 1) log 3 = log 2
x log 3 - log 3 = log 2
x log 3 = log 2 + log 3
x log 3 = log 6
x = $\frac{log6}{log3}$
x = ³log 6

HP = {-1, ³log 6}


 Latihan 4 
Tentukan HP dari (x² - x - 1)^3x-9 = 1

Jawab :
Berdasarkan sifat D, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basisnya sama dengan 1.
x² - x - 1 = 1
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2

Solusi 2 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat pangkatnya genap.
x² - x - 1 = -1
x² - x = 0
x(x - 1) = 0
x = 0 atau x = 1
Untuk x = 0  → (3x - 9) bernilai ganjil
Untuk x = 1  → (3x - 9) bernilai genap
Jadi, yang memenuhi adalah x = 1

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat basisnya tidak sama dengan nol.
3x - 9 = 0
3x = 9
x = 3
Periksa : Untuk x = 3  →  (x² - x - 1) ≠ 0
Jadi, x = 3 memenuhi

∴ HP = {-1, 1, 2, 3}


 Latihan 5 
Tentukan HP dari (x² + 3x - 2)^2x+3 = (x² + 2x + 4)^2x+3

Jawab :
Berdasarkan sifat E, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basis kiri sama dengan basis kanan.
x² + 3x - 2 = x² + 2x + 4
3x - 2 = 2x + 4
x = 6

Solusi 2 : Basis berlainan tanda, dengan syarat pangkatnya genap.
x² + 3x - 2 = -(x² + 2x + 4)
x² + 3x - 2 = -x² - 2x - 4
2x² + 5x + 2 = 0
(2x + 1)(x + 2) = 0
x = -1/2 atau x = -2
Periksa :
Untuk x = -1/2  →  (2x + 3) bernilai genap
Untuk x = -2  →  (2x + 3) bernilai ganjil
Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sama nol.
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa : Untuk x = -3/2 maka
(x² + 3x - 2) ≠ 0
(x² + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 memenuhi.

∴ HP = {-3/2, -1/2, 6}


 Latihan 6 
Tentukan HP dari (x² - 1)^x-1 = (x² - 1)^x+1

Jawab :
Berdasarkan sifat F, persamaan diatas memiliki 4 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Pangkat kiri sama dengan pangkat kanan.
x - 1 = x + 1
Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Solusi 2 : Basisnya sama dengan 1.
x² - 1 = 1
x² = 2
x = √ 2  atau x = -√ 2

Solusi 3 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat kedua pangkatnya genap atau keduanya ganjil.
x² - 1 = -1
x² = 0
x = 0
Periksa : Untuk x = 0 maka
(x - 1) bernilai ganjil
(x + 1) bernilai ganjil
Karena keduanya ganjil, maka x = 0 memenuhi.

Solusi 4 : Basisnya = 0, dengan syarat kedua pangkatnya ≠ 0.
x² - 1 = 0
(x + 1)(x - 1) = 0
x = -1 atau x = 1
Periksa :
Untuk x = -1 maka (x - 1) ≠ 0 dan (x + 1) = 0
Jadi, x = -1 tidak memenuhi.

Untuk x = 1 maka (x - 1) = 0 dan (x + 1) ≠ 0
Jadi, x = 1 tidak memenuhi.

∴ HP = {-√2, 0, √2}


 Latihan 7 
Akar-akar persamaan 9^x+1 - 10.3^x + 1 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, tentukan x₁ - x₂

Jawab :
9^x+1 - 10.3^x + 1 = 0
9^x.9¹ - 10.3^x + 1 = 0
9(3^x)²  - 10(3^x) + 1 = 0

Misalkan a = 3^x sehingga
9a² - 10a + 1 = 0
(9a - 1)(a - 1) = 0
a = $\frac{1}{9}$ atau a = 1

Untuk a = $\frac{1}{9}$
3^x = $\frac{1}{9}$
3^x = 3^-2
x = -2

Untuk a = 1
3^x = 1
3^x = 3⁰
x = 0

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 0 dan x₂ = -2. Akibatnya
x₁ - x₂ = 0 - (-2) = 2
Jadi, nilai x₁ - x₂ adalah 2.


 Latihan 8 
Akar-akar persamaan 6^x2-x = 2^x+1 adalah x₁ dan x₂. Tentukan nilai x₁ + x₂

Jawab :
Berdasarkan sifat C :
log 6^x2-x  =  log 2^x+1 
(x² - x) log 6  =  (x + 1) log 2
x² log 6  -  x log 6  =  x log 2  +  log 2
x² log 6  -  x log 6  -  x log 2  -  log 2  =  0
x² log 6  -  (log 6 + log 2)x  -  log 2  =  0
(log 6)x²  -  (log 12)x  -  log 2  =  0

Pandang persamaan diatas sebagai persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien :
a = log 6
b = - log 12
c = - log 2

Berdasarkan rumus kuadrat :
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ + x₂ = log12 / log 6
x₁ + x₂ = ⁶log 12

Jadi, x₁ + x₂ = ⁶log 12