Materi Olimpiade: Teorema Wilson dalam Teori Bilangan

Teorema ini dinamai berdasarkan matematikawan Inggris, John Wilson. Namun sebenarnya, teorema ini pertama kali dibuktikan oleh Joseph-Louis Lagrange pada abad ke-18.

Dalam cabang Teori Bilangan, terdapat banyak teorema penting yang berkaitan dengan bilangan prima. Salah satu teorema klasik yang sangat terkenal adalah Teorema Wilson. Teorema ini memberikan hubungan menarik antara faktorial dan bilangan prima.

Teorema Wilson menyatakan bahwa:

$(p-1)! \equiv - \mathrm{1 }(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d }p)$

dengan:

• p adalah bilangan prima
• (p-1) ! adalah faktorial dari (p-1)
• simbol ≡ menyatakan kongruensi modulo

Artinya, jika p merupakan bilangan prima, maka hasil dari faktorial (p−1) ketika dibagi oleh p akan bersisa −1 atau sama dengan p−1

.

Baca  Juga:

Teorema -Teorema Penting Dalam Soal Olimpiade Matematika

Pembuktian Teorema Wilson

Dalam modulo bilangan prima $p$, setiap bilangan dari 1 sampai $p-1$ memiliki invers perkalian.

Sebagian besar bilangan dapat dipasangkan dengan inversnya masing-masing sehingga hasil perkaliannya bernilai 1 modulo $p$. Hanya ada dua bilangan yang merupakan invers dirinya sendiri, yaitu:

$1^2 \equiv 1 \pmod p \quad \text{dan} \quad (-1)^2 \equiv 1 \pmod p$

Akibatnya, seluruh hasil perkalian menyisakan:

$$1 \times (-1) = -1$$

sehingga diperoleh:

(p-1) ! ≡ -1 (mod p)

Kebalikan Teorema Wilson

Teorema Wilson juga memiliki bentuk kebalikan:

Suatu bilangan bulat $p > 1$ adalah bilangan prima jika dan hanya jika

$(p-1)! \equiv -1 \pmod p$

Namun dalam praktiknya, teorema ini jarang digunakan untuk menguji bilangan prima besar karena perhitungan faktorial sangat besar dan tidak efisien

=========================================================================

Sebelum memahami Teorema Wilson, perlu diketahui pengertian faktorial.

Faktorial dari suatu bilangan bulat positif $n$ ditulis:

$n! = n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot2\cdot1$ 

Contoh:

• $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
  
• $5! = 120$
  

Untuk memahami konsep di atas perhatikan contoh berikut: 

Contoh 1

Buktikan bahwa $5$ adalah bilangan prima menggunakan Teorema Wilson.

Karena:

$$(5-1)!=4!=24$$

dan:

$$24 \div 5 = 4 \text{ sisa } 4$$

Sisa 4 sama dengan $-1 \pmod 5$, sehingga:

$4! \equiv -1 \pmod 5$

Maka, 5 benar merupakan bilangan prima.

Contoh 2

Uji apakah $6$ merupakan bilangan prima.

$$(6-1)! = 5! = 120$$

Ketika dibagi 6:

$$120 \equiv 0 \pmod 6$$

Karena tidak menghasilkan $-1$, maka 6 bukan bilangan prima.

Baca Juga:

• Materi Olimpiade: Teorema / Dalil Menelaus
• Materi Olimpiade Matematika :  Dalil Stewart
• Materi Olimpiade : Konsep Dalil Ceva : Sangat penting !

Demikian penjelasan tentang Teorema Wilson, silahkan dipahami dengan jelas.